EL TEOREMA DE TALES
Autor:
OBJETIVO
- Reconocer el criterio de
semejanza de triángulos utilizado en la solución de un ejercicio y
problema.
- Identificar el criterio de
semejanza de triángulos utilizado para la solución de problemas y
ejercicios.
- Resolver ejercicios
relacionados con el Teorema de Thales presentes en la vida cotidiana.
INTRODUCCIÓN:
EL teorema
de Tales se considera el teorema fundamental de la semejanza de triángulos
y establece lo siguiente: Toda recta paralela a un lado de un triángulo, forma
con los otros dos lados o con sus prolongaciones otro triángulo que es
semejante al triángulo dado.
Aplicaciones del
teorema
Las aplicaciones del
teorema de Tales son muchas y muy importantes: la división de un segmento en
partes proporcionales, la división de un segmento en partes iguales, la cuarta
y tercera proporcional de dos segmentos dados, la media proporcional, la
segmentación áurea, la cuarta proporcional de tres segmentos dados, el cálculo
gráfico de productos y razones de segmentos dados, el cálculo de razones
simples, razones dobles y cuaternas armónicas, la semejanza y el estudio de las
escalas. Todas estas construcciones son de gran interés para la resolución de
problemas y para el estudio de las transformaciones.
Primer teorema de Tales
![Dibujo del Primer Teorema de Tales](https://www.universoformulas.com/imagenes/matematicas/geometria/primer-teorema-tales.jpg)
El Primer Teorema de Tales enuncia que si
en un triángulo dado se traza
un segmento paralelo a uno de sus tres lados, el nuevo triángulo generado será
semejante al primero.
Al triángulo Δ ABC se
le traza el segmento A’C’. Vemos que aparece un nuevo triángulo
Δ A’BC’ semejante al primero.
Tienen sus tres ángulos iguales y sus lados correspondientes son
proporcionales.
De acuerdo con el
teorema, se verifica que:
![Fórmula de la proporción del Primer Teorema de Tales](https://www.universoformulas.com/imagenes/formulas/matematicas/geometria/primer-teorema-tales-proporcion.jpg)
Esa razón de proporcionalidad se mantiene entre dos lados de un
mismo triángulo y también entre
los lados correspondientes del otro.
![Fórmula del mantenimiento de la proporción del Primer Teorema de Tales](https://www.universoformulas.com/imagenes/formulas/matematicas/geometria/primer-teorema-tales-mantenimiento-proporcion.jpg)
Otra variante del primer teorema de Tales
![Dibujo de la variante de las rectas del Primer Teorema de Tales](https://www.universoformulas.com/imagenes/matematicas/geometria/primer-teorema-tales-variante-rectas.jpg)
Si dos rectas cualquiera (en la imagen: m y n) son cortadas por
una serie de rectas paralelas (en la imagen: r, s y t), los segmentos que
se forman en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes formadas
en la otra recta.
Donde se sigue
verificando la razón de proporcionalidad que se ha visto en la primera
formulación de este teorema:
![Fórmula de la proporción en el Corolario del Primer Teorema de Tales](https://www.universoformulas.com/imagenes/formulas/matematicas/geometria/primer-teorema-tales-proporcion-corolario.jpg)
Esta razón o
igualdades determinan a su vez al criterio de paralelismo de rectas.
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